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# Adam 算法

🏷 sec_adam

本章我们已经学习了许多有效优化的技术。
在本节讨论之前，我们先详细回顾一下这些技术：

  • 在 :numref: sec_sgd 中，我们学习了：随机梯度下降在解决优化问题时比梯度下降更有效。
  • 在 :numref: sec_minibatch_sgd 中，我们学习了：在一个小批量中使用更大的观测值集，可以通过向量化提供额外效率。这是高效的多机、多 GPU 和整体并行处理的关键。
  • 在 :numref: sec_momentum 中我们添加了一种机制，用于汇总过去梯度的历史以加速收敛。
  • 在 :numref: sec_adagrad 中，我们通过对每个坐标缩放来实现高效计算的预处理器。
  • 在 :numref: sec_rmsprop 中，我们通过学习率的调整来分离每个坐标的缩放。

Adam 算法 :cite: Kingma.Ba.2014 将所有这些技术汇总到一个高效的学习算法中。
不出预料，作为深度学习中使用的更强大和有效的优化算法之一，它非常受欢迎。
但是它并非没有问题，尤其是 :cite: Reddi.Kale.Kumar.2019 表明，有时 Adam 算法可能由于方差控制不良而发散。
在完善工作中， :cite: Zaheer.Reddi.Sachan.ea.2018 给 Adam 算法提供了一个称为 Yogi 的热补丁来解决这些问题。
下面我们了解一下 Adam 算法。

# 算法

Adam 算法的关键组成部分之一是：它使用指数加权移动平均值来估算梯度的动量和二次矩，即它使用状态变量

vt←β1vt−1+(1−β1)gt,st←β2st−1+(1−β2)gt2.\begin{aligned} \mathbf{v}_t & \leftarrow \beta_1 \mathbf{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \mathbf{g}_t, \\ \mathbf{s}_t & \leftarrow \beta_2 \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2. \end{aligned}

这里β1\beta_1 和β2\beta_2 是非负加权参数。
常将它们设置为β1=0.9\beta_1 = 0.9 和β2=0.999\beta_2 = 0.999。
也就是说，方差估计的移动远远慢于动量估计的移动。
注意，如果我们初始化v0=s0=0\mathbf{v}_0 = \mathbf{s}_0 = 0，就会获得一个相当大的初始偏差。
我们可以通过使用∑i=0tβi=1−βt1−β\sum_{i=0}^t \beta^i = \frac{1 - \beta^t}{1 - \beta} 来解决这个问题。
相应地，标准化状态变量由下式获得

v^t=vt1−β1tands^t=st1−β2t.\hat{\mathbf{v}}_t = \frac{\mathbf{v}_t}{1 - \beta_1^t} \text{ and } \hat{\mathbf{s}}_t = \frac{\mathbf{s}_t}{1 - \beta_2^t}.

有了正确的估计，我们现在可以写出更新方程。
首先，我们以非常类似于 RMSProp 算法的方式重新缩放梯度以获得

gt′=ηv^ts^t+ϵ.\mathbf{g}_t' = \frac{\eta \hat{\mathbf{v}}_t}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon}.

与 RMSProp 不同，我们的更新使用动量v^t\hat{\mathbf{v}}_t 而不是梯度本身。
此外，由于使用1s^t+ϵ\frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t} + \epsilon} 而不是1s^t+ϵ\frac{1}{\sqrt{\hat{\mathbf{s}}_t + \epsilon}} 进行缩放，两者会略有差异。
前者在实践中效果略好一些，因此与 RMSProp 算法有所区分。
通常，我们选择ϵ=10−6\epsilon = 10^{-6}，这是为了在数值稳定性和逼真度之间取得良好的平衡。

最后，我们简单更新：

xt←xt−1−gt′.\mathbf{x}_t \leftarrow \mathbf{x}_{t-1} - \mathbf{g}_t'.

回顾 Adam 算法，它的设计灵感很清楚：
首先，动量和规模在状态变量中清晰可见，
它们相当独特的定义使我们移除偏项（这可以通过稍微不同的初始化和更新条件来修正）。
其次，RMSProp 算法中两项的组合都非常简单。
最后，明确的学习率η\eta 使我们能够控制步长来解决收敛问题。

# 实现

从头开始实现 Adam 算法并不难。
为方便起见，我们将时间步tt 存储在 hyperparams 字典中。
除此之外，一切都很简单。

%matplotlib inline
import torch
from d2l import torch as d2l
def init_adam_states(feature_dim):
    v_w, v_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    s_w, s_b = torch.zeros((feature_dim, 1)), torch.zeros(1)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))
def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * torch.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.data.zero_()
    hyperparams['t'] += 1
现在，我们用以上 Adam 算法来训练模型，这里我们使用η=0.01\eta = 0.01 的学习率。
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(adam, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.245, 0.016 sec/epoch

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此外，我们可以用深度学习框架自带算法应用 Adam 算法，这里我们只需要传递配置参数。
trainer = torch.optim.Adam
d2l.train_concise_ch11(trainer, {'lr': 0.01}, data_iter)
loss: 0.247, 0.015 sec/epoch

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# Yogi
Adam 算法也存在一些问题：
即使在凸环境下，当st\mathbf{s}_t 的二次矩估计值爆炸时，它可能无法收敛。
:cite: Zaheer.Reddi.Sachan.ea.2018 为st\mathbf{s}_t 提出了的改进更新和参数初始化。
论文中建议我们重写 Adam 算法更新如下：
st←st−1+(1−β2)(gt2−st−1).\mathbf{s}_t \leftarrow \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \left(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}\right).
每当gt2\mathbf{g}_t^2 具有值很大的变量或更新很稀疏时，st\mathbf{s}_t 可能会太快地 “忘记” 过去的值。
一个有效的解决方法是将gt2−st−1\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1} 替换为gt2⊙sgn(gt2−st−1)\mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1})。
这就是 Yogi 更新，现在更新的规模不再取决于偏差的量。
st←st−1+(1−β2)gt2⊙sgn(gt2−st−1).\mathbf{s}_t \leftarrow \mathbf{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \mathbf{g}_t^2 \odot \mathop{\mathrm{sgn}}(\mathbf{g}_t^2 - \mathbf{s}_{t-1}).
论文中，作者还进一步建议用更大的初始批量来初始化动量，而不仅仅是初始的逐点估计。
def yogi(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-3
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        with torch.no_grad():
            v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad
            s[:] = s + (1 - beta2) * torch.sign(
                torch.square(p.grad) - s) * torch.square(p.grad)
            v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
            s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
            p[:] -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr)
                                                       + eps)
        p.grad.data.zero_()
    hyperparams['t'] += 1
data_iter, feature_dim = d2l.get_data_ch11(batch_size=10)
d2l.train_ch11(yogi, init_adam_states(feature_dim),
               {'lr': 0.01, 't': 1}, data_iter, feature_dim);
loss: 0.244, 0.017 sec/epoch

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# 小结
  • Adam 算法将许多优化算法的功能结合到了相当强大的更新规则中。
  • Adam 算法在 RMSProp 算法基础上创建的，还在小批量的随机梯度上使用 EWMA。
  • 在估计动量和二次矩时，Adam 算法使用偏差校正来调整缓慢的启动速度。
  • 对于具有显著差异的梯度，我们可能会遇到收敛性问题。我们可以通过使用更大的小批量或者切换到改进的估计值st\mathbf{s}_t 来修正它们。Yogi 提供了这样的替代方案。
# 练习
  1. 调节学习率，观察并分析实验结果。
  2. 试着重写动量和二次矩更新，从而使其不需要偏差校正。
  3. 收敛时为什么需要降低学习率η\eta？
  4. 尝试构造一个使用 Adam 算法会发散而 Yogi 会收敛的例子。
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