# 微积分

🏷 sec_calculus

在 2500 年前，古希腊人把一个多边形分成三角形，并把它们的面积相加，才找到计算多边形面积的方法。
为了求出曲线形状（比如圆）的面积，古希腊人在这样的形状上刻内接多边形。
如 :numref: fig_circle_area 所示，内接多边形的等长边越多，就越接近圆。
这个过程也被称为逼近法（method of exhaustion）。

🏷 fig_circle_area

事实上，逼近法就是积分（integral calculus）的起源。
2000 多年后，微积分的另一支，微分（differential calculus）被发明出来。
在微分学最重要的应用是优化问题，即考虑如何把事情做到最好。
正如在 :numref: subsec_norms_and_objectives 中讨论的那样，
这种问题在深度学习中是无处不在的。

在深度学习中，我们 “训练” 模型，不断更新它们，使它们在看到越来越多的数据时变得越来越好。
通常情况下，变得更好意味着最小化一个损失函数（loss function），
即一个衡量 “模型有多糟糕” 这个问题的分数。
最终，我们真正关心的是生成一个模型，它能够在从未见过的数据上表现良好。
但 “训练” 模型只能将模型与我们实际能看到的数据相拟合。
因此，我们可以将拟合模型的任务分解为两个关键问题：

• 优化（optimization）：用模型拟合观测数据的过程；
• 泛化（generalization）：数学原理和实践者的智慧，能够指导我们生成出有效性超出用于训练的数据集本身的模型。

为了帮助读者在后面的章节中更好地理解优化问题和方法，
本节提供了一个非常简短的入门教程，帮助读者快速掌握深度学习中常用的微分知识。

# 导数和微分

我们首先讨论导数的计算，这是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤。
在深度学习中，我们通常选择对于模型参数可微的损失函数。
简而言之，对于每个参数，
如果我们把这个参数增加或减少一个无穷小的量，可以知道损失会以多快的速度增加或减少，

假设我们有一个函数$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$，其输入和输出都是标量。
(如果$f$ 的导数存在，这个极限被定义为)

($$f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.$$)
:eqlabel: eq_derivative

如果$f'(a)$ 存在，则称$f$ 在$a$ 处是可微（differentiable）的。
如果$f$ 在一个区间内的每个数上都是可微的，则此函数在此区间中是可微的。
我们可以将 :eqref: eq_derivative 中的导数$f'(x)$ 解释为$f(x)$ 相对于$x$ 的瞬时（instantaneous）变化率。
所谓的瞬时变化率是基于$x$ 中的变化$h$，且$h$ 接近$0$。

为了更好地解释导数，让我们做一个实验。
(定义$u=f(x)=3x^2-4x$) 如下：

%matplotlib inline

import numpy as np

from matplotlib_inline import backend_inline

from d2l import torch as d2l

def f(x):

    return 3 * x ** 2 - 4 * x

[通过令$x=1$ 并让$h$ 接近$0$，] :eqref: eq_derivative 中 ($\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ 的数值结果接近$2$)。
虽然这个实验不是一个数学证明，但稍后会看到，当$x=1$ 时，导数$u'$ 是$2$。

def numerical_lim(f, x, h):

    return (f(x + h) - f(x)) / h

h = 0.1

for i in range(5):

    print(f'h={h:.5f}, numerical limit={numerical_lim(f, 1, h):.5f}')

    h *= 0.1

h=0.10000, numerical limit=2.30000
h=0.01000, numerical limit=2.03000
h=0.00100, numerical limit=2.00300
h=0.00010, numerical limit=2.00030
h=0.00001, numerical limit=2.00003

让我们熟悉一下导数的几个等价符号。
给定$y=f(x)$，其中$x$ 和$y$ 分别是函数$f$ 的自变量和因变量。以下表达式是等价的：

$$f'(x) = y' = \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dx} = \frac{d}{dx} f(x) = Df(x) = D_x f(x),$$

其中符号$\frac{d}{dx}$ 和$D$ 是微分运算符，表示微分操作。
我们可以使用以下规则来对常见函数求微分：

• $DC = 0$（$C$ 是一个常数）
• $Dx^n = nx^{n-1}$（幂律（power rule），$n$ 是任意实数）
• $De^x = e^x$
• $D\ln(x) = 1/x$

为了微分一个由一些常见函数组成的函数，下面的一些法则方便使用。
假设函数$f$ 和$g$ 都是可微的，$C$ 是一个常数，则：

常数相乘法则

$$\frac{d}{dx} [Cf(x)] = C \frac{d}{dx} f(x),$$

加法法则

$$\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x),$$

乘法法则

$$\frac{d}{dx} [f(x)g(x)] = f(x) \frac{d}{dx} [g(x)] + g(x) \frac{d}{dx} [f(x)],$$

除法法则

$$\frac{d}{dx} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{g(x) \frac{d}{dx} [f(x)] - f(x) \frac{d}{dx} [g(x)]}{[g(x)]^2}.$$

现在我们可以应用上述几个法则来计算$u'=f'(x)=3\frac{d}{dx}x^2-4\frac{d}{dx}x=6x-4$。
令$x=1$，我们有$u'=2$：在这个实验中，数值结果接近$2$，
这一点得到了在本节前面的实验的支持。
当$x=1$ 时，此导数也是曲线$u=f(x)$ 切线的斜率。

[为了对导数的这种解释进行可视化，我们将使用 matplotlib ]，
这是一个 Python 中流行的绘图库。
要配置 matplotlib 生成图形的属性，我们需要 (定义几个函数)。
在下面， use_svg_display 函数指定 matplotlib 软件包输出 svg 图表以获得更清晰的图像。

注意，注释 #@save 是一个特殊的标记，会将对应的函数、类或语句保存在 d2l 包中。
因此，以后无须重新定义就可以直接调用它们（例如， d2l.use_svg_display() ）。

def use_svg_display():  #@save

    """使用svg格式在Jupyter中显示绘图"""

    backend_inline.set_matplotlib_formats('svg')

我们定义 set_figsize 函数来设置图表大小。
注意，这里可以直接使用 d2l.plt ，因为导入语句
from matplotlib import pyplot as plt 已标记为保存到 d2l 包中。

def set_figsize(figsize=(3.5, 2.5)):  #@save

    """设置matplotlib的图表大小"""

    use_svg_display()

    d2l.plt.rcParams['figure.figsize'] = figsize

下面的 set_axes 函数用于设置由 matplotlib 生成图表的轴的属性。

#@save

def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):

    """设置matplotlib的轴"""

    axes.set_xlabel(xlabel)

    axes.set_ylabel(ylabel)

    axes.set_xscale(xscale)

    axes.set_yscale(yscale)

    axes.set_xlim(xlim)

    axes.set_ylim(ylim)

    if legend:

        axes.legend(legend)

    axes.grid()

通过这三个用于图形配置的函数，定义一个 plot 函数来简洁地绘制多条曲线，
因为我们需要在整个书中可视化许多曲线。

#@save

def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,

         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',

         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):

    """绘制数据点"""

    if legend is None:

        legend = []

    set_figsize(figsize)

    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()

    # 如果 X 有一个轴，输出 True

    def has_one_axis(X):

        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or isinstance(X, list)

                and not hasattr(X[0], "__len__"))

    if has_one_axis(X):

        X = [X]

    if Y is None:

        X, Y = [[]] * len(X), X

    elif has_one_axis(Y):

        Y = [Y]

    if len(X) != len(Y):

        X = X * len(Y)

    axes.cla()

    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):

        if len(x):

            axes.plot(x, y, fmt)

        else:

            axes.plot(y, fmt)

    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

现在我们可以 [绘制函数$u=f(x)$ 及其在$x=1$ 处的切线$y=2x-3$]，
其中系数$2$ 是切线的斜率。

x = np.arange(0, 3, 0.1)

plot(x, [f(x), 2 * x - 3], 'x', 'f(x)', legend=['f(x)', 'Tangent line (x=1)'])

# 偏导数

到目前为止，我们只讨论了仅含一个变量的函数的微分。
在深度学习中，函数通常依赖于许多变量。
因此，我们需要将微分的思想推广到多元函数（multivariate function）上。

设$y = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 是一个具有$n$ 个变量的函数。
$y$ 关于第$i$ 个参数$x_i$ 的偏导数（partial derivative）为：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i+h, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}.$$

为了计算$\frac{\partial y}{\partial x_i}$，
我们可以简单地将$x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$ 看作常数，
并计算$y$ 关于$x_i$ 的导数。
对于偏导数的表示，以下是等价的：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{x_i} = f_i = D_i f = D_{x_i} f.$$

# 梯度

🏷 subsec_calculus-grad

我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。
具体而言，设函数$f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ 的输入是
一个$n$ 维向量$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\ldots,x_n]^\top$，并且输出是一个标量。
函数$f(\mathbf{x})$ 相对于$\mathbf{x}$ 的梯度是一个包含$n$ 个偏导数的向量:

$$\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\mathbf{x})}{\partial x_n}\bigg]^\top,$$

其中$\nabla_{\mathbf{x}} f(\mathbf{x})$ 通常在没有歧义时被$\nabla f(\mathbf{x})$ 取代。

假设$\mathbf{x}$ 为$n$ 维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则:

• 对于所有$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$，都有$\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{A}^\top$
• 对于所有$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times m}$，都有\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} = \mathbf
• 对于所有$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$，都有\nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{A} \mathbf{x} = (\mathbf{A} + \mathbf{A}^\top)\mathbf
• \nabla_{\mathbf{x}} \|\mathbf{x} \|^2 = \nabla_{\mathbf{x}} \mathbf{x}^\top \mathbf{x} = 2\mathbf

同样，对于任何矩阵$\mathbf{X}$，都有$\nabla_{\mathbf{X}} \|\mathbf{X} \|_F^2 = 2\mathbf{X}$。
正如我们之后将看到的，梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。

# 链式法则

然而，上面方法可能很难找到梯度。
这是因为在深度学习中，多元函数通常是复合（composite）的，
所以难以应用上述任何规则来微分这些函数。
幸运的是，链式法则可以被用来微分复合函数。

让我们先考虑单变量函数。假设函数$y=f(u)$ 和$u=g(x)$ 都是可微的，根据链式法则：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}.$$

现在考虑一个更一般的场景，即函数具有任意数量的变量的情况。
假设可微分函数$y$ 有变量$u_1, u_2, \ldots, u_m$，其中每个可微分函数$u_i$ 都有变量$x_1, x_2, \ldots, x_n$。
注意，$y$ 是$x_1, x_2， \ldots, x_n$ 的函数。
对于任意$i = 1, 2, \ldots, n$，链式法则给出：

$$\frac{\partial y}{\partial x_i} = \frac{\partial y}{\partial u_1} \frac{\partial u_1}{\partial x_i} + \frac{\partial y}{\partial u_2} \frac{\partial u_2}{\partial x_i} + \cdots + \frac{\partial y}{\partial u_m} \frac{\partial u_m}{\partial x_i}$$

# 小结

• 微分和积分是微积分的两个分支，前者可以应用于深度学习中的优化问题。
• 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
• 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
• 链式法则可以用来微分复合函数。

# 练习

1. 绘制函数$y = f(x) = x^3 - \frac{1}{x}$ 和其在$x = 1$ 处切线的图像。
2. 求函数$f(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 5e^{x_2}$ 的梯度。
3. 函数$f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|_2$ 的梯度是什么？
4. 尝试写出函数$u = f(x, y, z)$，其中$x = x(a, b)$，$y = y(a, b)$，$z = z(a, b)$ 的链式法则。

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