# softmax 回归的简洁实现

🏷 sec_softmax_concise

在 :numref: sec_linear_concise 中，
我们发现 (通过深度学习框架的高级 API 能够使实现)
(~~softmax~~)
线性 (回归变得更加容易)。
同样，通过深度学习框架的高级 API 也能更方便地实现 softmax 回归模型。
本节如在 :numref: sec_softmax_scratch 中一样，
继续使用 Fashion-MNIST 数据集，并保持批量大小为 256。

	import torch
	from torch import nn
	from d2l import torch as d2l

	batch_size = 256
	train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

# 初始化模型参数

如我们在 :numref: sec_softmax 所述，
[softmax 回归的输出层是一个全连接层]。
因此，为了实现我们的模型，
我们只需在 Sequential 中添加一个带有 10 个输出的全连接层。
同样，在这里 Sequential 并不是必要的，
但它是实现深度模型的基础。
我们仍然以均值 0 和标准差 0.01 随机初始化权重。

	# PyTorch 不会隐式地调整输入的形状。因此，
	# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
	net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))

	def init_weights(m):
	if type(m) == nn.Linear:
	nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

	net.apply(init_weights);

# 重新审视 Softmax 的实现

🏷 subsec_softmax-implementation-revisited

在前面 :numref: sec_softmax_scratch 的例子中，
我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。
从数学上讲，这是一件完全合理的事情。
然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。

回想一下，softmax 函数 $\hat y_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}$ ，
其中 $\hat y_j$ 是预测的概率分布。
$o_j$ 是未规范化的预测 $\mathbf{o}$ 的第 $j$ 个元素。
如果 $o_k$ 中的一些数值非常大，
那么 $\exp(o_k)$ 可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。
这将使分母或分子变为 inf （无穷大），
最后得到的是 0、 inf 或 nan （不是数字）的 $\hat y_j$ 。
在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

解决这个问题的一个技巧是：
在继续 softmax 计算之前，先从所有 $o_k$ 中减去 $\max(o_k)$ 。
这里可以看到每个 $o_k$ 按常数进行的移动不会改变 softmax 的返回值：

$\begin{aligned} \hat y_j & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))\exp(\max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))\exp(\max(o_k))} \\ & = \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}. \end{aligned}$

在减法和规范化步骤之后，可能有些 $o_j - \max(o_k)$ 具有较大的负值。
由于精度受限， $\exp(o_j - \max(o_k))$ 将有接近零的值，即下溢（underflow）。
这些值可能会四舍五入为零，使 $\hat y_j$ 为零，
并且使得 $\log(\hat y_j)$ 的值为 -inf 。
反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的 nan 结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。
通过将 softmax 和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。
如下面的等式所示，我们避免计算 $\exp(o_j - \max(o_k))$ ，
而可以直接使用 $o_j - \max(o_k)$ ，因为 $\log(\exp(\cdot))$ 被抵消了。

$\begin{aligned} \log{(\hat y_j)} & = \log\left( \frac{\exp(o_j - \max(o_k))}{\sum_k \exp(o_k - \max(o_k))}\right) \\ & = \log{(\exp(o_j - \max(o_k)))}-\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)} \\ & = o_j - \max(o_k) -\log{\left( \sum_k \exp(o_k - \max(o_k)) \right)}. \end{aligned}$

我们也希望保留传统的 softmax 函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。
但是，我们没有将 softmax 概率传递到损失函数中，
而是 [在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算 softmax 及其对数]，
这是一种类似 "LogSumExp 技巧" 的聪明方式。

loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')

# 优化算法

在这里，我们 (使用学习率为 0.1 的小批量随机梯度下降作为优化算法)。
这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

# 训练

接下来我们 [调用] :numref: sec_softmax_scratch 中 (之前)
(定义的训练函数来训练模型)。

	num_epochs = 10
	d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

svg

和以前一样，这个算法使结果收敛到一个相当高的精度，而且这次的代码比之前更精简了。

# 小结

使用深度学习框架的高级 API，我们可以更简洁地实现 softmax 回归。
从计算的角度来看，实现 softmax 回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。

# 练习

尝试调整超参数，例如批量大小、迭代周期数和学习率，并查看结果。
增加迭代周期的数量。为什么测试精度会在一段时间后降低？我们怎么解决这个问题？

Discussions

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