# softmax 回归

🏷 sec_softmax

在 :numref: sec_linear_regression 中我们介绍了线性回归。
随后，在 :numref: sec_linear_scratch 中我们从头实现线性回归。
然后，在 :numref: sec_linear_concise 中我们使用深度学习框架的高级 API 简洁实现线性回归。

回归可以用于预测多少的问题。
比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜场数，又或者患者住院的天数。

事实上，我们也对分类问题感兴趣：不是问 “多少”，而是问 “哪一个”：

• 某个电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？
• 某个用户可能注册或不注册订阅服务？
• 某个图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？
• 某人接下来最有可能看哪部电影？

通常，机器学习实践者用分类这个词来描述两个有微妙差别的问题：

1. 我们只对样本的 “硬性” 类别感兴趣，即属于哪个类别；
2. 我们希望得到 “软性” 类别，即得到属于每个类别的概率。
   这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是：即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。

# 分类问题

🏷 subsec_classification-problem

我们从一个图像分类问题开始。
假设每次输入是一个$2\times2$ 的灰度图像。
我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征$x_1, x_2, x_3, x_4$。
此外，假设每个图像属于类别 “猫”“鸡” 和 “狗” 中的一个。

接下来，我们要选择如何表示标签。
我们有两个明显的选择：最直接的想法是选择$y \in \{1, 2, 3\}$，
其中整数分别代表$\{\text{狗}, \text{猫}, \text{鸡}\}$。
这是在计算机上存储此类信息的有效方法。
如果类别间有一些自然顺序，
比如说我们试图预测$\{\text{婴儿}, \text{儿童}, \text{青少年}, \text{青年人}, \text{中年人}, \text{老年人}\}$，
那么将这个问题转变为回归问题，并且保留这种格式是有意义的。

但是一般的分类问题并不与类别之间的自然顺序有关。
幸运的是，统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。
独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。
类别对应的分量设置为 1，其他所有分量设置为 0。
在我们的例子中，标签$y$ 将是一个三维向量，
其中$(1, 0, 0)$ 对应于 “猫”、$(0, 1, 0)$ 对应于 “鸡”、$(0, 0, 1)$ 对应于 “狗”：

$$y \in \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}.$$

# 网络架构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。
为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。
每个输出对应于它自己的仿射函数。
在我们的例子中，由于我们有 4 个特征和 3 个可能的输出类别，
我们将需要 12 个标量来表示权重（带下标的$w$），
3 个标量来表示偏置（带下标的$b$）。
下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）：$o_1$、$o_2$ 和$o_3$。

$$\begin{aligned} o_1 &= x_1 w_{11} + x_2 w_{12} + x_3 w_{13} + x_4 w_{14} + b_1,\\ o_2 &= x_1 w_{21} + x_2 w_{22} + x_3 w_{23} + x_4 w_{24} + b_2,\\ o_3 &= x_1 w_{31} + x_2 w_{32} + x_3 w_{33} + x_4 w_{34} + b_3. \end{aligned}$$

我们可以用神经网络图 :numref: fig_softmaxreg 来描述这个计算过程。
与线性回归一样，softmax 回归也是一个单层神经网络。
由于计算每个输出$o_1$、$o_2$ 和$o_3$ 取决于
所有输入$x_1$、$x_2$、$x_3$ 和$x_4$，
所以 softmax 回归的输出层也是全连接层。

🏷 fig_softmaxreg

为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。
通过向量形式表达为$\mathbf{o} = \mathbf{W} \mathbf{x} + \mathbf{b}$，
这是一种更适合数学和编写代码的形式。
由此，我们已经将所有权重放到一个$3 \times 4$ 矩阵中。
对于给定数据样本的特征$\mathbf{x}$，
我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵 - 向量乘法再加上偏置$\mathbf{b}$ 得到的。

# 全连接层的参数开销

🏷 subsec_parameterization-cost-fc-layers

正如我们将在后续章节中看到的，在深度学习中，全连接层无处不在。
然而，顾名思义，全连接层是 “完全” 连接的，可能有很多可学习的参数。
具体来说，对于任何具有$d$ 个输入和$q$ 个输出的全连接层，
参数开销为$\mathcal{O}(dq)$，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。
幸运的是，将$d$ 个输入转换为$q$ 个输出的成本可以减少到$\mathcal{O}(\frac{dq}{n})$，
其中超参数$n$ 可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性
:cite: Zhang.Tay.Zhang.ea.2021 。

# softmax 运算

🏷 subsec_softmax_operation

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。
为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出$\hat{y}_j$ 可以视为属于类$j$ 的概率，
然后选择具有最大输出值的类别$\operatorname*{argmax}_j y_j$ 作为我们的预测。
例如，如果$\hat{y}_1$、$\hat{y}_2$ 和$\hat{y}_3$ 分别为 0.1、0.8 和 0.1，
那么我们预测的类别是 2，在我们的例子中代表 “鸡”。

然而我们能否将未规范化的预测$o$ 直接视作我们感兴趣的输出呢？
答案是否定的。
因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：
一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为 1。
另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。
这些违反了 :numref: sec_prob 中所说的概率基本公理。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为 1。
此外，我们需要一个训练的目标函数，来激励模型精准地估计概率。
例如，
在分类器输出 0.5 的所有样本中，我们希望这些样本是刚好有一半实际上属于预测的类别。
这个属性叫做校准（calibration）。

社会科学家邓肯・卢斯于 1959 年在选择模型（choice model）的理论基础上
发明的 softmax 函数正是这样做的：
softmax 函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为 1，同时让模型保持
可导的性质。
为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。
为了确保最终输出的概率值总和为 1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

$$\hat{\mathbf{y}} = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})\quad \text{其中}\quad \hat{y}_j = \frac{\exp(o_j)}{\sum_k \exp(o_k)}$$

:eqlabel: eq_softmax_y_and_o

这里，对于所有的$j$ 总有$0 \leq \hat{y}_j \leq 1$。
因此，$\hat{\mathbf{y}}$ 可以视为一个正确的概率分布。
softmax 运算不会改变未规范化的预测$\mathbf{o}$ 之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。
因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

$$\operatorname*{argmax}_j \hat y_j = \operatorname*{argmax}_j o_j.$$

尽管 softmax 是一个非线性函数，但 softmax 回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。
因此，softmax 回归是一个线性模型（linear model）。

# 小批量样本的矢量化

🏷 subsec_softmax_vectorization

为了提高计算效率并且充分利用 GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行矢量计算。
假设我们读取了一个批量的样本$\mathbf{X}$，
其中特征维度（输入数量）为$d$，批量大小为$n$。
此外，假设我们在输出中有$q$ 个类别。
那么小批量样本的特征为$\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$，
权重为$\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{d \times q}$，
偏置为$\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{1\times q}$。
softmax 回归的矢量计算表达式为：

$$\begin{aligned} \mathbf{O} &= \mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}, \\ \hat{\mathbf{Y}} & = \mathrm{softmax}(\mathbf{O}). \end{aligned}$$

:eqlabel: eq_minibatch_softmax_reg

相对于一次处理一个样本，
小批量样本的矢量化加快了$\mathbf{X}和\mathbf{W}$ 的矩阵 - 向量乘法。
由于$\mathbf{X}$ 中的每一行代表一个数据样本，
那么 softmax 运算可以按行（rowwise）执行：
对于$\mathbf{O}$ 的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。
在 :eqref: eq_minibatch_softmax_reg 中，
$\mathbf{X} \mathbf{W} + \mathbf{b}$ 的求和会使用广播机制，
小批量的未规范化预测$\mathbf{O}$ 和输出概率$\hat{\mathbf{Y}}$
都是形状为$n \times q$ 的矩阵。

# 损失函数

接下来，我们需要一个损失函数来度量预测的效果。
我们将使用最大似然估计，这与在线性回归
（ :numref: subsec_normal_distribution_and_squared_loss ）
中的方法相同。

# 对数似然

softmax 函数给出了一个向量$\hat{\mathbf{y}}$，
我们可以将其视为 “对给定任意输入$\mathbf{x}$ 的每个类的条件概率”。
例如，$\hat{y}_1$=$P(y=\text{猫} \mid \mathbf{x})$。
假设整个数据集$\{\mathbf{X}, \mathbf{Y}\}$ 具有$n$ 个样本，
其中索引$i$ 的样本由特征向量$\mathbf{x}^{(i)}$ 和独热标签向量$\mathbf{y}^{(i)}$ 组成。
我们可以将估计值与实际值进行比较：

$$P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}).$$

根据最大似然估计，我们最大化$P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X})$，相当于最小化负对数似然：

$$-\log P(\mathbf{Y} \mid \mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n -\log P(\mathbf{y}^{(i)} \mid \mathbf{x}^{(i)}) = \sum_{i=1}^n l(\mathbf{y}^{(i)}, \hat{\mathbf{y}}^{(i)}),$$

其中，对于任何标签$\mathbf{y}$ 和模型预测$\hat{\mathbf{y}}$，损失函数为：

$$l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = - \sum_{j=1}^q y_j \log \hat{y}_j.$$

:eqlabel: eq_l_cross_entropy

在本节稍后的内容会讲到， :eqref: eq_l_cross_entropy 中的损失函数
通常被称为交叉熵损失（cross-entropy loss）。
由于$\mathbf{y}$ 是一个长度为$q$ 的独热编码向量，
所以除了一个项以外的所有项$j$ 都消失了。
由于所有$\hat{y}_j$ 都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于$0$。
因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签$P(\mathbf{y} \mid \mathbf{x})=1$，
则损失函数不能进一步最小化。
注意，这往往是不可能的。
例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），
或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。

# softmax 及其导数

🏷 subsec_softmax_and_derivatives

由于 softmax 和相关的损失函数很常见，
因此我们需要更好地理解它的计算方式。
将 :eqref: eq_softmax_y_and_o 代入损失 :eqref: eq_l_cross_entropy 中。
利用 softmax 的定义，我们得到：

$$\begin{aligned} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) &= - \sum_{j=1}^q y_j \log \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} \\ &= \sum_{j=1}^q y_j \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j\\ &= \log \sum_{k=1}^q \exp(o_k) - \sum_{j=1}^q y_j o_j. \end{aligned}$$

考虑相对于任何未规范化的预测$o_j$ 的导数，我们得到：

$$\partial_{o_j} l(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = \frac{\exp(o_j)}{\sum_{k=1}^q \exp(o_k)} - y_j = \mathrm{softmax}(\mathbf{o})_j - y_j.$$

换句话说，导数是我们 softmax 模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。
从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，
其中梯度是观测值$y$ 和估计值$\hat{y}$ 之间的差异。
这不是巧合，在任何指数族分布模型中
（参见本书附录中关于数学分布的一节），
对数似然的梯度正是由此得出的。
这使梯度计算在实践中变得容易很多。

# 交叉熵损失

现在让我们考虑整个结果分布的情况，即观察到的不仅仅是一个结果。
对于标签$\mathbf{y}$，我们可以使用与以前相同的表示形式。
唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如$(0.1, 0.2, 0.7)$，
而不是仅包含二元项的向量$(0, 0, 1)$。
我们使用 :eqref: eq_l_cross_entropy 来定义损失$l$，
它是所有标签分布的预期损失值。
此损失称为交叉熵损失（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。
本节我们将通过介绍信息论基础来理解交叉熵损失。
如果想了解更多信息论的细节，请进一步参考
本书附录中关于信息论的一节。

# 信息论基础

🏷 subsec_info_theory_basics

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

# 熵

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。
在信息论中，该数值被称为分布$P$ 的熵（entropy）。可以通过以下方程得到：

$$H[P] = \sum_j - P(j) \log P(j).$$

:eqlabel: eq_softmax_reg_entropy

信息论的基本定理之一指出，为了对从分布$p$ 中随机抽取的数据进行编码，
我们至少需要$H[P]$“纳特（nat）” 对其进行编码。
“纳特” 相当于比特（bit），但是对数底为$e$ 而不是 2。因此，一个纳特是$\frac{1}{\log(2)} \approx 1.44$ 比特。

# 信息量

压缩与预测有什么关系呢？
想象一下，我们有一个要压缩的数据流。
如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。
为什么呢？
举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，这会是一个非常无聊的数据流。
由于它们总是相同的，我们总是知道下一个数据是什么。
所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。也就是说，“下一个数据是 xx” 这个事件毫无信息量。

但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到 "惊异"。
克劳德・香农决定用信息量$\log \frac{1}{P(j)} = -\log P(j)$ 来量化这种惊异程度。
在观察一个事件$j$ 时，并赋予它（主观）概率$P(j)$。
当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。
在 :eqref: eq_softmax_reg_entropy 中定义的熵，
是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。

# 重新审视交叉熵

如果把熵$H(P)$ 想象为 “知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？
交叉熵从$P$ 到$Q$，记为$H(P, Q)$。
我们可以把交叉熵想象为 “主观概率为$Q$ 的观察者在看到根据概率$P$ 生成的数据时的预期惊异”。
当$P=Q$ 时，交叉熵达到最低。
在这种情况下，从$P$ 到$Q$ 的交叉熵是$H(P, P)= H(P)$。

简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：
（i）最大化观测数据的似然；（ii）最小化传达标签所需的惊异。

# 模型预测和评估

在训练 softmax 回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。
通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。
如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。
在接下来的实验中，我们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能。
精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

# 小结

• softmax 运算获取一个向量并将其映射为概率。
• softmax 回归适用于分类问题，它使用了 softmax 运算中输出类别的概率分布。
• 交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量，它测量给定模型编码数据所需的比特数。

# 练习

1. 我们可以更深入地探讨指数族与 softmax 之间的联系。
   1. 计算 softmax 交叉熵损失$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})$ 的二阶导数。
   2. 计算$\mathrm{softmax}(\mathbf{o})$ 给出的分布方差，并与上面计算的二阶导数匹配。
2. 假设我们有三个类发生的概率相等，即概率向量是$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$。
   1. 如果我们尝试为它设计二进制代码，有什么问题？
   2. 请设计一个更好的代码。提示：如果我们尝试编码两个独立的观察结果会发生什么？如果我们联合编码$n$ 个观测值怎么办？
3. softmax 是对上面介绍的映射的误称（虽然深度学习领域中很多人都使用这个名字）。真正的 softmax 被定义为$\mathrm{RealSoftMax}(a, b) = \log (\exp(a) + \exp(b))$。
   1. 证明$\mathrm{RealSoftMax}(a, b) > \mathrm{max}(a, b)$。
   2. 证明$\lambda^{-1} \mathrm{RealSoftMax}(\lambda a, \lambda b) > \mathrm{max}(a, b)$ 成立，前提是$\lambda > 0$。
   3. 证明对于$\lambda \to \infty$，有$\lambda^{-1} \mathrm{RealSoftMax}(\lambda a, \lambda b) \to \mathrm{max}(a, b)$。
   4. soft-min 会是什么样子？
   5. 将其扩展到两个以上的数字。

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