# 线性回归的从零开始实现

🏷 sec_linear_scratch

在了解线性回归的关键思想之后，我们可以开始通过代码来动手实现线性回归了。
在这一节中，(我们将从零开始实现整个方法，
包括数据流水线、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器)。
虽然现代的深度学习框架几乎可以自动化地进行所有这些工作，但从零开始实现可以确保我们真正知道自己在做什么。
同时，了解更细致的工作原理将方便我们自定义模型、自定义层或自定义损失函数。
在这一节中，我们将只使用张量和自动求导。
在之后的章节中，我们会充分利用深度学习框架的优势，介绍更简洁的实现方式。

	%matplotlib inline
	import random
	import torch
	from d2l import torch as d2l

# 生成数据集

为了简单起见，我们将 [根据带有噪声的线性模型构造一个人造数据集。]
我们的任务是使用这个有限样本的数据集来恢复这个模型的参数。
我们将使用低维数据，这样可以很容易地将其可视化。
在下面的代码中，我们生成一个包含 1000 个样本的数据集，
每个样本包含从标准正态分布中采样的 2 个特征。
我们的合成数据集是一个矩阵 $\mathbf{X}\in \mathbb{R}^{1000 \times 2}$ 。

(** 我们使用线性模型参数 $\mathbf{w} = [2, -3.4]^\top$ 、 $b = 4.2$
和噪声项 $\epsilon$ 生成数据集及其标签：

$\mathbf{y}= \mathbf{X} \mathbf{w} + b + \mathbf\epsilon.$

**)

$\epsilon$ 可以视为模型预测和标签时的潜在观测误差。
在这里我们认为标准假设成立，即 $\epsilon$ 服从均值为 0 的正态分布。
为了简化问题，我们将标准差设为 0.01。
下面的代码生成合成数据集。

	def synthetic_data(w, b, num_examples): #@save
	"""生成y=Xw+b+噪声"""
	X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
	y = torch.matmul(X, w) + b
	y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)
	return X, y.reshape((-1, 1))

	true_w = torch.tensor([2, -3.4])
	true_b = 4.2
	features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

注意，[ features 中的每一行都包含一个二维数据样本，
labels 中的每一行都包含一维标签值（一个标量）]。

print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])

features: tensor([-0.3679, -1.8471]) 
label: tensor([9.7361])

通过生成第二个特征 features[:, 1] 和 labels 的散点图，
可以直观观察到两者之间的线性关系。

	d2l.set_figsize()
	d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);

svg

# 读取数据集

回想一下，训练模型时要对数据集进行遍历，每次抽取一小批量样本，并使用它们来更新我们的模型。
由于这个过程是训练机器学习算法的基础，所以有必要定义一个函数，
该函数能打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。

在下面的代码中，我们 [定义一个 data_iter 函数，
该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为 batch_size 的小批量]。
每个小批量包含一组特征和标签。

	def data_iter(batch_size, features, labels):
	num_examples = len(features)
	indices = list(range(num_examples))
	# 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
	random.shuffle(indices)
	for i in range(0, num_examples, batch_size):
	batch_indices = torch.tensor(
	indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
	yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

通常，我们利用 GPU 并行运算的优势，处理合理大小的 “小批量”。
每个样本都可以并行地进行模型计算，且每个样本损失函数的梯度也可以被并行计算。
GPU 可以在处理几百个样本时，所花费的时间不比处理一个样本时多太多。

我们直观感受一下小批量运算：读取第一个小批量数据样本并打印。
每个批量的特征维度显示批量大小和输入特征数。
同样的，批量的标签形状与 batch_size 相等。

	batch_size = 10

	for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
	print(X, '\n', y)
	break

tensor([[ 0.1649, -1.1651],
        [-2.0755, -1.0165],
        [-0.2189,  0.7607],
        [ 0.6833,  0.3537],
        [-0.2736, -2.0485],
        [-0.3026,  0.9771],
        [ 2.4795,  0.6881],
        [-0.2045, -0.8509],
        [-0.1353,  0.5476],
        [ 0.3371, -0.0479]]) 
 tensor([[ 8.4901],
        [ 3.5015],
        [ 1.1779],
        [ 4.3752],
        [10.6125],
        [ 0.2845],
        [ 6.8094],
        [ 6.6776],
        [ 2.0598],
        [ 5.0189]])

当我们运行迭代时，我们会连续地获得不同的小批量，直至遍历完整个数据集。
上面实现的迭代对教学来说很好，但它的执行效率很低，可能会在实际问题上陷入麻烦。
例如，它要求我们将所有数据加载到内存中，并执行大量的随机内存访问。
在深度学习框架中实现的内置迭代器效率要高得多，
它可以处理存储在文件中的数据和数据流提供的数据。

# 初始化模型参数

[在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前]，
(我们需要先有一些参数)。
在下面的代码中，我们通过从均值为 0、标准差为 0.01 的正态分布中采样随机数来初始化权重，
并将偏置初始化为 0。

	w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)
	b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

在初始化参数之后，我们的任务是更新这些参数，直到这些参数足够拟合我们的数据。
每次更新都需要计算损失函数关于模型参数的梯度。
有了这个梯度，我们就可以向减小损失的方向更新每个参数。
因为手动计算梯度很枯燥而且容易出错，所以没有人会手动计算梯度。
我们使用 :numref: sec_autograd 中引入的自动微分来计算梯度。

# 定义模型

接下来，我们必须 [定义模型，将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。]
回想一下，要计算线性模型的输出，
我们只需计算输入特征 $\mathbf{X}$ 和模型权重 $\mathbf{w}$ 的矩阵 - 向量乘法后加上偏置 $b$ 。
注意，上面的 $\mathbf{Xw}$ 是一个向量，而 $b$ 是一个标量。
回想一下 :numref: subsec_broadcasting 中描述的广播机制：
当我们用一个向量加一个标量时，标量会被加到向量的每个分量上。

	def linreg(X, w, b): #@save
	"""线性回归模型"""
	return torch.matmul(X, w) + b

# [定义损失函数]

因为需要计算损失函数的梯度，所以我们应该先定义损失函数。
这里我们使用 :numref: sec_linear_regression 中描述的平方损失函数。
在实现中，我们需要将真实值 y 的形状转换为和预测值 y_hat 的形状相同。

	def squared_loss(y_hat, y): #@save
	"""均方损失"""
	return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

# (定义优化算法)

正如我们在 :numref: sec_linear_regression 中讨论的，线性回归有解析解。
尽管线性回归有解析解，但本书中的其他模型却没有。
这里我们介绍小批量随机梯度下降。

在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。
接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。
下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。
该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每
一步更新的大小由学习速率 lr 决定。
因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（ batch_size ）
来规范化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。

	def sgd(params, lr, batch_size): #@save
	"""小批量随机梯度下降"""
	with torch.no_grad():
	for param in params:
	param -= lr * param.grad / batch_size
	param.grad.zero_()

# 训练

现在我们已经准备好了模型训练所有需要的要素，可以实现主要的 [训练过程] 部分了。
理解这段代码至关重要，因为从事深度学习后，
相同的训练过程几乎一遍又一遍地出现。
在每次迭代中，我们读取一小批量训练样本，并通过我们的模型来获得一组预测。
计算完损失后，我们开始反向传播，存储每个参数的梯度。
最后，我们调用优化算法 sgd 来更新模型参数。

概括一下，我们将执行以下循环：

初始化参数
重复以下训练，直到完成
- 计算梯度 $\mathbf{g} \leftarrow \partial_{(\mathbf{w},b)} \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} l(\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}, \mathbf{w}, b)$
- 更新参数(\mathbf{w}, b) \leftarrow (\mathbf{w}, b) - \eta \mathbf

在每个迭代周期（epoch）中，我们使用 data_iter 函数遍历整个数据集，
并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。
这里的迭代周期个数 num_epochs 和学习率 lr 都是超参数，分别设为 3 和 0.03。
设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。
我们现在忽略这些细节，以后会在 :numref: chap_optimization 中详细介绍。

	lr = 0.03
	num_epochs = 3
	net = linreg
	loss = squared_loss

	for epoch in range(num_epochs):
	for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
	l = loss(net(X, w, b), y) # X 和 y 的小批量损失
	# 因为 l 形状是 (batch_size,1)，而不是一个标量。l 中的所有元素被加到一起，
	# 并以此计算关于 [w,b] 的梯度
	l.sum().backward()
	sgd([w, b], lr, batch_size) # 使用参数的梯度更新参数
	with torch.no_grad():
	train_l = loss(net(features, w, b), labels)
	print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(train_l.mean()):f}')

epoch 1, loss 0.043705
epoch 2, loss 0.000172
epoch 3, loss 0.000047

因为我们使用的是自己合成的数据集，所以我们知道真正的参数是什么。
因此，我们可以通过 [比较真实参数和通过训练学到的参数来评估训练的成功程度]。
事实上，真实参数和通过训练学到的参数确实非常接近。

	print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
	print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

w的估计误差: tensor([ 0.0003, -0.0002], grad_fn=<SubBackward0>)
b的估计误差: tensor([0.0010], grad_fn=<RsubBackward1>)

注意，我们不应该想当然地认为我们能够完美地求解参数。
在机器学习中，我们通常不太关心恢复真正的参数，而更关心如何高度准确预测参数。
幸运的是，即使是在复杂的优化问题上，随机梯度下降通常也能找到非常好的解。
其中一个原因是，在深度网络中存在许多参数组合能够实现高度精确的预测。

# 小结

我们学习了深度网络是如何实现和优化的。在这一过程中只使用张量和自动微分，不需要定义层或复杂的优化器。
这一节只触及到了表面知识。在下面的部分中，我们将基于刚刚介绍的概念描述其他模型，并学习如何更简洁地实现其他模型。

# 练习

如果我们将权重初始化为零，会发生什么。算法仍然有效吗？
假设试图为电压和电流的关系建立一个模型。自动微分可以用来学习模型的参数吗？
能基于普朗克定律使用光谱能量密度来确定物体的温度吗？
计算二阶导数时可能会遇到什么问题？这些问题可以如何解决？
为什么在 squared_loss 函数中需要使用 reshape 函数？
尝试使用不同的学习率，观察损失函数值下降的快慢。
如果样本个数不能被批量大小整除， data_iter 函数的行为会有什么变化？

Discussions

chapter_linear-networks