# 线性回归

🏷 sec_linear_regression

回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。
在自然科学和社会科学领域，回归经常用来表示输入和输出之间的关系。

在机器学习领域中的大多数任务通常都与预测（prediction）有关。
当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。
常见的例子包括：预测价格（房屋、股票等）、预测住院时间（针对住院病人等）、
预测需求（零售销量等）。
但不是所有的预测都是回归问题。
在后面的章节中，我们将介绍分类问题。分类问题的目标是预测数据属于一组类别中的哪一个。

# 线性回归的基本元素

线性回归（linear regression）可以追溯到 19 世纪初，
它在回归的各种标准工具中最简单而且最流行。
线性回归基于几个简单的假设：
首先，假设自变量$\mathbf{x}$ 和因变量$y$ 之间的关系是线性的，
即$y$ 可以表示为$\mathbf{x}$ 中元素的加权和，这里通常允许包含观测值的一些噪声；
其次，我们假设任何噪声都比较正常，如噪声遵循正态分布。

为了解释线性回归，我们举一个实际的例子：
我们希望根据房屋的面积（平方英尺）和房龄（年）来估算房屋价格（美元）。
为了开发一个能预测房价的模型，我们需要收集一个真实的数据集。
这个数据集包括了房屋的销售价格、面积和房龄。
在机器学习的术语中，该数据集称为训练数据集（training data set）
或训练集（training set）。
每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample），
也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。
我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。
预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

通常，我们使用$n$ 来表示数据集中的样本数。
对索引为$i$ 的样本，其输入表示为$\mathbf{x}^{(i)} = [x_1^{(i)}, x_2^{(i)}]^\top$，
其对应的标签是$y^{(i)}$。

# 线性模型

🏷 subsec_linear_model

线性假设是指目标（房屋价格）可以表示为特征（面积和房龄）的加权和，如下面的式子：

$$\mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b.$$

:eqlabel: eq_price-area

:eqref: eq_price-area 中的$w_{\mathrm{area}}$ 和$w_{\mathrm{age}}$
称为权重（weight），权重决定了每个特征对我们预测值的影响。
$b$ 称为偏置（bias）、偏移量（offset）或截距（intercept）。
偏置是指当所有特征都取值为 0 时，预测值应该为多少。
即使现实中不会有任何房子的面积是 0 或房龄正好是 0 年，我们仍然需要偏置项。
如果没有偏置项，我们模型的表达能力将受到限制。
严格来说， :eqref: eq_price-area 是输入特征的一个
仿射变换（affine transformation）。
仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation），
并通过偏置项来进行平移（translation）。

给定一个数据集，我们的目标是寻找模型的权重$\mathbf{w}$ 和偏置$b$，
使得根据模型做出的预测大体符合数据里的真实价格。
输出的预测值由输入特征通过线性模型的仿射变换决定，仿射变换由所选权重和偏置确定。

而在机器学习领域，我们通常使用的是高维数据集，建模时采用线性代数表示法会比较方便。
当我们的输入包含$d$ 个特征时，我们将预测结果$\hat{y}$
（通常使用 “尖角” 符号表示$y$ 的估计值）表示为：

$$\hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b.$$

将所有特征放到向量$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d$ 中，
并将所有权重放到向量$\mathbf{w} \in \mathbb{R}^d$ 中，
我们可以用点积形式来简洁地表达模型：

$$\hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b.$$

:eqlabel: eq_linreg-y

在 :eqref: eq_linreg-y 中，
向量$\mathbf{x}$ 对应于单个数据样本的特征。
用符号表示的矩阵$\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}$
可以很方便地引用我们整个数据集的$n$ 个样本。
其中，$\mathbf{X}$ 的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

对于特征集合$\mathbf{X}$，预测值$\hat{\mathbf{y}} \in \mathbb{R}^n$
可以通过矩阵 - 向量乘法表示为：

$${\hat{\mathbf{y}}} = \mathbf{X} \mathbf{w} + b$$

这个过程中的求和将使用广播机制
（广播机制在 :numref: subsec_broadcasting 中有详细介绍）。
给定训练数据特征$\mathbf{X}$ 和对应的已知标签$\mathbf{y}$，
线性回归的目标是找到一组权重向量$\mathbf{w}$ 和偏置$b$：
当给定从$\mathbf{X}$ 的同分布中取样的新样本特征时，
这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。

虽然我们相信给定$\mathbf{x}$ 预测$y$ 的最佳模型会是线性的，
但我们很难找到一个有$n$ 个样本的真实数据集，其中对于所有的$1 \leq i \leq n$，$y^{(i)}$ 完全等于$\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)}+b$。
无论我们使用什么手段来观察特征$\mathbf{X}$ 和标签$\mathbf{y}$，
都可能会出现少量的观测误差。
因此，即使确信特征与标签的潜在关系是线性的，
我们也会加入一个噪声项来考虑观测误差带来的影响。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters）$\mathbf{w}$ 和$b$ 之前，
我们还需要两个东西：
（1）一种模型质量的度量方式；
（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

# 损失函数

在我们开始考虑如何用模型拟合（fit）数据之前，我们需要确定一个拟合程度的度量。
损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。
通常我们会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为 0。
回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。
当样本$i$ 的预测值为$\hat{y}^{(i)}$，其相应的真实标签为$y^{(i)}$ 时，
平方误差可以定义为以下公式：

$$l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.$$

:eqlabel: eq_mse

常数$\frac{1}{2}$ 不会带来本质的差别，但这样在形式上稍微简单一些
（因为当我们对损失函数求导后常数系数为 1）。
由于训练数据集并不受我们控制，所以经验误差只是关于模型参数的函数。
为了进一步说明，来看下面的例子。
我们为一维情况下的回归问题绘制图像，如 :numref: fig_fit_linreg 所示。

🏷 fig_fit_linreg

由于平方误差函数中的二次方项，
估计值$\hat{y}^{(i)}$ 和观测值$y^{(i)}$ 之间较大的差异将导致更大的损失。
为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集$n$ 个样本上的损失均值（也等价于求和）。

$$L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.$$

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（$\mathbf{w}^*, b^*$），
这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

$$\mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b).$$

# 解析解

线性回归刚好是一个很简单的优化问题。
与我们将在本书中所讲到的其他大部分模型不同，线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来，
这类解叫作解析解（analytical solution）。
首先，我们将偏置$b$ 合并到参数$\mathbf{w}$ 中，合并方法是在包含所有参数的矩阵中附加一列。
我们的预测问题是最小化$\|\mathbf{y} - \mathbf{X}\mathbf{w}\|^2$。
这在损失平面上只有一个临界点，这个临界点对应于整个区域的损失极小点。
将损失关于$\mathbf{w}$ 的导数设为 0，得到解析解：

$$\mathbf{w}^* = (\mathbf X^\top \mathbf X)^{-1}\mathbf X^\top \mathbf{y}.$$

像线性回归这样的简单问题存在解析解，但并不是所有的问题都存在解析解。
解析解可以进行很好的数学分析，但解析解对问题的限制很严格，导致它无法广泛应用在深度学习里。

# 随机梯度下降

即使在我们无法得到解析解的情况下，我们仍然可以有效地训练模型。
在许多任务上，那些难以优化的模型效果要更好。
因此，弄清楚如何训练这些难以优化的模型是非常重要的。

本书中我们用到一种名为梯度下降（gradient descent）的方法，
这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。
它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值）
关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。
但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。
因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本，
这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）。

在每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量$\mathcal{B}$，
它是由固定数量的训练样本组成的。
然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。
最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数$\eta$，并从当前参数的值中减掉。

我们用下面的数学公式来表示这一更新过程（$\partial$ 表示偏导数）：

$$(\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).$$

总结一下，算法的步骤如下：
（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；
（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。
对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

$$\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}$$

:eqlabel: eq_linreg_batch_update

公式 :eqref: eq_linreg_batch_update 中的$\mathbf{w}$ 和$\mathbf{x}$ 都是向量。
在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如$w_1, w_2, \ldots, w_d$）更具可读性。
$|\mathcal{B}|$ 表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。
$\eta$ 表示学习率（learning rate）。
批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。
这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。
调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。
超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，
而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），
我们记录下模型参数的估计值，表示为$\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}$。
但是，即使我们的函数确实是线性的且无噪声，这些估计值也不会使损失函数真正地达到最小值。
因为算法会使得损失向最小值缓慢收敛，但却不能在有限的步数内非常精确地达到最小值。

线性回归恰好是一个在整个域中只有一个最小值的学习问题。
但是对像深度神经网络这样复杂的模型来说，损失平面上通常包含多个最小值。
深度学习实践者很少会去花费大力气寻找这样一组参数，使得在训练集上的损失达到最小。
事实上，更难做到的是找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失，
这一挑战被称为泛化（generalization）。

# 用模型进行预测

给定 “已学习” 的线性回归模型$\hat{\mathbf{w}}^\top \mathbf{x} + \hat{b}$，
现在我们可以通过房屋面积$x_1$ 和房龄$x_2$ 来估计一个（未包含在训练数据中的）新房屋价格。
给定特征估计目标的过程通常称为预测（prediction）或推断（inference）。

本书将尝试坚持使用预测这个词。
虽然推断这个词已经成为深度学习的标准术语，但其实推断这个词有些用词不当。
在统计学中，推断更多地表示基于数据集估计参数。
当深度学习从业者与统计学家交谈时，术语的误用经常导致一些误解。

# 矢量化加速

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。
为了实现这一点，需要 (我们对计算进行矢量化，
从而利用线性代数库，而不是在 Python 中编写开销高昂的 for 循环)。

%matplotlib inline

import math

import time

import numpy as np

import torch

from d2l import torch as d2l

为了说明矢量化为什么如此重要，我们考虑 (对向量相加的两种方法)。
我们实例化两个全为 1 的 10000 维向量。
在一种方法中，我们将使用 Python 的 for 循环遍历向量；
在另一种方法中，我们将依赖对 + 的调用。

n = 10000

a = torch.ones([n])

b = torch.ones([n])

由于在本书中我们将频繁地进行运行时间的基准测试，所以 [我们定义一个计时器]：

class Timer:  #@save

    """记录多次运行时间"""

    def __init__(self):

        self.times = []

        self.start()

    def start(self):

        """启动计时器"""

        self.tik = time.time()

    def stop(self):

        """停止计时器并将时间记录在列表中"""

        self.times.append(time.time() - self.tik)

        return self.times[-1]

    def avg(self):

        """返回平均时间"""

        return sum(self.times) / len(self.times)

    def sum(self):

        """返回时间总和"""

        return sum(self.times)

    def cumsum(self):

        """返回累计时间"""

        return np.array(self.times).cumsum().tolist()

现在我们可以对工作负载进行基准测试。

首先，[我们使用 for 循环，每次执行一位的加法]。

c = torch.zeros(n)

timer = Timer()

for i in range(n):

    c[i] = a[i] + b[i]

f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.09661 sec'

(或者，我们使用重载的 + 运算符来计算按元素的和)。

timer.start()

d = a + b

f'{timer.stop():.5f} sec'

'0.00021 sec'

结果很明显，第二种方法比第一种方法快得多。
矢量化代码通常会带来数量级的加速。
另外，我们将更多的数学运算放到库中，而无须自己编写那么多的计算，从而减少了出错的可能性。

# 正态分布与平方损失

🏷 subsec_normal_distribution_and_squared_loss

接下来，我们通过对噪声分布的假设来解读平方损失目标函数。

正态分布和线性回归之间的关系很密切。
正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution），
最早由德国数学家高斯（Gauss）应用于天文学研究。
简单的说，若随机变量$x$ 具有均值$\mu$ 和方差$\sigma^2$（标准差$\sigma$），其正态分布概率密度函数如下：

$$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right).$$

下面 [我们定义一个 Python 函数来计算正态分布]。

def normal(x, mu, sigma):

    p = 1 / math.sqrt(2 * math.pi * sigma**2)

    return p * np.exp(-0.5 / sigma**2 * (x - mu)**2)

我们现在 (可视化正态分布)。

# 再次使用 numpy 进行可视化

x = np.arange(-7, 7, 0.01)

# 均值和标准差对

params = [(0, 1), (0, 2), (3, 1)]

d2l.plot(x, [normal(x, mu, sigma) for mu, sigma in params], xlabel='x',

         ylabel='p(x)', figsize=(4.5, 2.5),

         legend=[f'mean {mu}, std {sigma}' for mu, sigma in params])

就像我们所看到的，改变均值会产生沿$x$ 轴的偏移，增加方差将会分散分布、降低其峰值。

均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：
我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。
噪声正态分布如下式:

$$y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon,$$

其中，$\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$。

因此，我们现在可以写出通过给定的$\mathbf{x}$ 观测到特定$y$ 的似然（likelihood）：

$$P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).$$

现在，根据极大似然估计法，参数$\mathbf{w}$ 和$b$ 的最优值是使整个数据集的似然最大的值：

$$P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).$$

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。
虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，
但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。
由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。
我们可以改为最小化负对数似然$-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)$。
由此可以得到的数学公式是：

$$-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.$$

现在我们只需要假设$\sigma$ 是某个固定常数就可以忽略第一项，
因为第一项不依赖于$\mathbf{w}$ 和$b$。
现在第二项除了常数$\frac{1}{\sigma^2}$ 外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。
幸运的是，上面式子的解并不依赖于$\sigma$。
因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

# 从线性回归到深度网络

到目前为止，我们只谈论了线性模型。
尽管神经网络涵盖了更多更为丰富的模型，我们依然可以用描述神经网络的方式来描述线性模型，
从而把线性模型看作一个神经网络。
首先，我们用 “层” 符号来重写这个模型。

# 神经网络图

深度学习从业者喜欢绘制图表来可视化模型中正在发生的事情。
在 :numref: fig_single_neuron 中，我们将线性回归模型描述为一个神经网络。
需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。

🏷 fig_single_neuron

在 :numref: fig_single_neuron 所示的神经网络中，输入为$x_1, \ldots, x_d$，
因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为$d$。
网络的输出为$o_1$，因此输出层中的输出数是 1。
需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。
由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。
也就是说， :numref: fig_single_neuron 中神经网络的层数为 1。
我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。

对于线性回归，每个输入都与每个输出（在本例中只有一个输出）相连，
我们将这种变换（ :numref: fig_single_neuron 中的输出层）
称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。
下一章将详细讨论由这些层组成的网络。

# 生物学

线性回归发明的时间（1795 年）早于计算神经科学，所以将线性回归描述为神经网络似乎不合适。
当控制学家、神经生物学家沃伦・麦库洛奇和沃尔特・皮茨开始开发人工神经元模型时，
他们为什么将线性模型作为一个起点呢？
我们来看一张图片 :numref: fig_Neuron ：
这是一张由树突（dendrites，输入终端）、
细胞核（nucleus，CPU）组成的生物神经元图片。
轴突（axon，输出线）和轴突端子（axon terminal，输出端子）
通过突触（synapse）与其他神经元连接。

🏷 fig_Neuron

树突中接收到来自其他神经元（或视网膜等环境传感器）的信息$x_i$。
该信息通过突触权重$w_i$ 来加权，以确定输入的影响（即，通过$x_i w_i$ 相乘来激活或抑制）。
来自多个源的加权输入以加权和$y = \sum_i x_i w_i + b$ 的形式汇聚在细胞核中，
然后将这些信息发送到轴突$y$ 中进一步处理，通常会通过$\sigma(y)$ 进行一些非线性处理。
之后，它要么到达目的地（例如肌肉），要么通过树突进入另一个神经元。

当然，许多这样的单元可以通过正确连接和正确的学习算法拼凑在一起，
从而产生的行为会比单独一个神经元所产生的行为更有趣、更复杂，
这种想法归功于我们对真实生物神经系统的研究。

当今大多数深度学习的研究几乎没有直接从神经科学中获得灵感。
我们援引斯图尔特・罗素和彼得・诺维格在他们的经典人工智能教科书
Artificial Intelligence:A Modern Approach :cite: Russell.Norvig.2016
中所说的：虽然飞机可能受到鸟类的启发，但几个世纪以来，鸟类学并不是航空创新的主要驱动力。
同样地，如今在深度学习中的灵感同样或更多地来自数学、统计学和计算机科学。

# 小结

• 机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。
• 矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。
• 最小化目标函数和执行极大似然估计等价。
• 线性回归模型也是一个简单的神经网络。

# 练习

1. 假设我们有一些数据$x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R}$。我们的目标是找到一个常数$b$，使得最小化$\sum_i (x_i - b)^2$。
   1. 找到最优值$b$ 的解析解。
   2. 这个问题及其解与正态分布有什么关系？
2. 推导出使用平方误差的线性回归优化问题的解析解。为了简化问题，可以忽略偏置$b$（我们可以通过向$\mathbf X$ 添加所有值为 1 的一列来做到这一点）。
   1. 用矩阵和向量表示法写出优化问题（将所有数据视为单个矩阵，将所有目标值视为单个向量）。
   2. 计算损失对$w$ 的梯度。
   3. 通过将梯度设为 0、求解矩阵方程来找到解析解。
   4. 什么时候可能比使用随机梯度下降更好？这种方法何时会失效？
3. 假定控制附加噪声$\epsilon$ 的噪声模型是指数分布。也就是说，$p(\epsilon) = \frac{1}{2} \exp(-|\epsilon|)$
   1. 写出模型$-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)$ 下数据的负对数似然。
   2. 请试着写出解析解。
   3. 提出一种随机梯度下降算法来解决这个问题。哪里可能出错？（提示：当我们不断更新参数时，在驻点附近会发生什么情况）请尝试解决这个问题。

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