# 注意力评分函数

🏷 sec_attention-scoring-functions

:numref: sec_nadaraya-watson 使用了高斯核来对查询和键之间的关系建模。
:eqref: eq_nadaraya-watson-gaussian 中的
高斯核指数部分可以视为注意力评分函数（attention scoring function），
简称评分函数（scoring function），
然后把这个函数的输出结果输入到 softmax 函数中进行运算。
通过上述步骤，将得到与键对应的值的概率分布（即注意力权重）。
最后，注意力汇聚的输出就是基于这些注意力权重的值的加权和。

从宏观来看，上述算法可以用来实现
:numref: fig_qkv 中的注意力机制框架。
:numref: fig_attention_output 说明了
如何将注意力汇聚的输出计算成为值的加权和，
其中$a$ 表示注意力评分函数。
由于注意力权重是概率分布，
因此加权和其本质上是加权平均值。

🏷 fig_attention_output

用数学语言描述，假设有一个查询
$\mathbf{q} \in \mathbb{R}^q$ 和
$m$ 个 “键－值” 对
$(\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}_m)$，
其中$\mathbf{k}_i \in \mathbb{R}^k$，$\mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v$。
注意力汇聚函数$f$ 就被表示成值的加权和：

$$f(\mathbf{q}, (\mathbf{k}_1, \mathbf{v}_1), \ldots, (\mathbf{k}_m, \mathbf{v}_m)) = \sum_{i=1}^m \alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) \mathbf{v}_i \in \mathbb{R}^v,$$

:eqlabel: eq_attn-pooling

其中查询$\mathbf{q}$ 和键$\mathbf{k}_i$ 的注意力权重（标量）
是通过注意力评分函数$a$ 将两个向量映射成标量，
再经过 softmax 运算得到的：

$$\alpha(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i) = \mathrm{softmax}(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i)) = \frac{\exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_i))}{\sum_{j=1}^m \exp(a(\mathbf{q}, \mathbf{k}_j))} \in \mathbb{R}.$$

:eqlabel: eq_attn-scoring-alpha

正如上图所示，选择不同的注意力评分函数$a$ 会导致不同的注意力汇聚操作。
本节将介绍两个流行的评分函数，稍后将用他们来实现更复杂的注意力机制。

import math

import torch

from torch import nn

from d2l import torch as d2l

# [掩蔽 softmax 操作]

正如上面提到的，softmax 操作用于输出一个概率分布作为注意力权重。
在某些情况下，并非所有的值都应该被纳入到注意力汇聚中。
例如，为了在 :numref: sec_machine_translation 中高效处理小批量数据集，
某些文本序列被填充了没有意义的特殊词元。
为了仅将有意义的词元作为值来获取注意力汇聚，
可以指定一个有效序列长度（即词元的个数），
以便在计算 softmax 时过滤掉超出指定范围的位置。
下面的 masked_softmax 函数
实现了这样的掩蔽 softmax 操作（masked softmax operation），
其中任何超出有效长度的位置都被掩蔽并置为 0。

#@save

def masked_softmax(X, valid_lens):

    """通过在最后一个轴上掩蔽元素来执行softmax操作"""

    # X:3D 张量，valid_lens:1D 或 2D 张量

    if valid_lens is None:

        return nn.functional.softmax(X, dim=-1)

    else:

        shape = X.shape

        if valid_lens.dim() == 1:

            valid_lens = torch.repeat_interleave(valid_lens, shape[1])

        else:

            valid_lens = valid_lens.reshape(-1)

        # 最后一轴上被掩蔽的元素使用一个非常大的负值替换，从而其 softmax 输出为 0

        X = d2l.sequence_mask(X.reshape(-1, shape[-1]), valid_lens,

                              value=-1e6)

        return nn.functional.softmax(X.reshape(shape), dim=-1)

为了 [演示此函数是如何工作] 的，
考虑由两个$2 \times 4$ 矩阵表示的样本，
这两个样本的有效长度分别为$2$ 和$3$。
经过掩蔽 softmax 操作，超出有效长度的值都被掩蔽为 0。

masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([2, 3]))

tensor([[[0.3313, 0.6687, 0.0000, 0.0000],
         [0.4467, 0.5533, 0.0000, 0.0000]],

        [[0.1959, 0.4221, 0.3820, 0.0000],
         [0.3976, 0.2466, 0.3558, 0.0000]]])

同样，也可以使用二维张量，为矩阵样本中的每一行指定有效长度。

masked_softmax(torch.rand(2, 2, 4), torch.tensor([[1, 3], [2, 4]]))

tensor([[[1.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
         [0.3195, 0.2861, 0.3944, 0.0000]],

        [[0.4664, 0.5336, 0.0000, 0.0000],
         [0.2542, 0.2298, 0.1925, 0.3234]]])

# [加性注意力]

🏷 subsec_additive-attention

一般来说，当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用加性注意力作为评分函数。
给定查询$\mathbf{q} \in \mathbb{R}^q$ 和
键$\mathbf{k} \in \mathbb{R}^k$，
加性注意力（additive attention）的评分函数为

$$a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf w_v^\top \text{tanh}(\mathbf W_q\mathbf q + \mathbf W_k \mathbf k) \in \mathbb{R},$$

:eqlabel: eq_additive-attn

其中可学习的参数是$\mathbf W_q\in\mathbb R^{h\times q}$、
$\mathbf W_k\in\mathbb R^{h\times k}$ 和
$\mathbf w_v\in\mathbb R^{h}$。
如 :eqref: eq_additive-attn 所示，
将查询和键连结起来后输入到一个多层感知机（MLP）中，
感知机包含一个隐藏层，其隐藏单元数是一个超参数$h$。
通过使用$\tanh$ 作为激活函数，并且禁用偏置项。

下面来实现加性注意力。

#@save

class AdditiveAttention(nn.Module):

    """加性注意力"""

    def __init__(self, key_size, query_size, num_hiddens, dropout, **kwargs):

        super(AdditiveAttention, self).__init__(**kwargs)

        self.W_k = nn.Linear(key_size, num_hiddens, bias=False)

        self.W_q = nn.Linear(query_size, num_hiddens, bias=False)

        self.w_v = nn.Linear(num_hiddens, 1, bias=False)

        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens):

        queries, keys = self.W_q(queries), self.W_k(keys)

        # 在维度扩展后，

        # queries 的形状：(batch_size，查询的个数，1，num_hidden)

        # key 的形状：(batch_size，1，“键－值” 对的个数，num_hiddens)

        # 使用广播方式进行求和

        features = queries.unsqueeze(2) + keys.unsqueeze(1)

        features = torch.tanh(features)

        # self.w_v 仅有一个输出，因此从形状中移除最后那个维度。

        # scores 的形状：(batch_size，查询的个数，“键 - 值” 对的个数)

        scores = self.w_v(features).squeeze(-1)

        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)

        # values 的形状：(batch_size，“键－值” 对的个数，值的维度)

        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

用一个小例子来 [演示上面的 AdditiveAttention 类]，
其中查询、键和值的形状为（批量大小，步数或词元序列长度，特征大小），
实际输出为$(2,1,20)$、$(2,10,2)$ 和$(2,10,4)$。
注意力汇聚输出的形状为（批量大小，查询的步数，值的维度）。

queries, keys = torch.normal(0, 1, (2, 1, 20)), torch.ones((2, 10, 2))

# values 的小批量，两个值矩阵是相同的

values = torch.arange(40, dtype=torch.float32).reshape(1, 10, 4).repeat(

    2, 1, 1)

valid_lens = torch.tensor([2, 6])

attention = AdditiveAttention(key_size=2, query_size=20, num_hiddens=8,

                              dropout=0.1)

attention.eval()

attention(queries, keys, values, valid_lens)

tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],

        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]], grad_fn=<BmmBackward0>)

尽管加性注意力包含了可学习的参数，但由于本例子中每个键都是相同的，
所以 [注意力权重] 是均匀的，由指定的有效长度决定。

d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),

                  xlabel='Keys', ylabel='Queries')

# [缩放点积注意力]

使用点积可以得到计算效率更高的评分函数，
但是点积操作要求查询和键具有相同的长度$d$。
假设查询和键的所有元素都是独立的随机变量，
并且都满足零均值和单位方差，
那么两个向量的点积的均值为$0$，方差为$d$。
为确保无论向量长度如何，
点积的方差在不考虑向量长度的情况下仍然是$1$，
我们再将点积除以$\sqrt{d}$，
则缩放点积注意力（scaled dot-product attention）评分函数为：

$$a(\mathbf q, \mathbf k) = \mathbf{q}^\top \mathbf{k} /\sqrt{d}.$$

在实践中，我们通常从小批量的角度来考虑提高效率，
例如基于$n$ 个查询和$m$ 个键－值对计算注意力，
其中查询和键的长度为$d$，值的长度为$v$。
查询$\mathbf Q\in\mathbb R^{n\times d}$、
键$\mathbf K\in\mathbb R^{m\times d}$ 和
值$\mathbf V\in\mathbb R^{m\times v}$ 的缩放点积注意力是：

$$\mathrm{softmax}\left(\frac{\mathbf Q \mathbf K^\top }{\sqrt{d}}\right) \mathbf V \in \mathbb{R}^{n\times v}.$$

:eqlabel: eq_softmax_QK_V

下面的缩放点积注意力的实现使用了暂退法进行模型正则化。

#@save

class DotProductAttention(nn.Module):

    """缩放点积注意力"""

    def __init__(self, dropout, **kwargs):

        super(DotProductAttention, self).__init__(**kwargs)

        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    # queries 的形状：(batch_size，查询的个数，d)

    # keys 的形状：(batch_size，“键－值” 对的个数，d)

    # values 的形状：(batch_size，“键－值” 对的个数，值的维度)

    # valid_lens 的形状：(batch_size，) 或者 (batch_size，查询的个数)

    def forward(self, queries, keys, values, valid_lens=None):

        d = queries.shape[-1]

        # 设置 transpose_b=True 为了交换 keys 的最后两个维度

        scores = torch.bmm(queries, keys.transpose(1,2)) / math.sqrt(d)

        self.attention_weights = masked_softmax(scores, valid_lens)

        return torch.bmm(self.dropout(self.attention_weights), values)

为了 [演示上述的 DotProductAttention 类]，
我们使用与先前加性注意力例子中相同的键、值和有效长度。
对于点积操作，我们令查询的特征维度与键的特征维度大小相同。

queries = torch.normal(0, 1, (2, 1, 2))

attention = DotProductAttention(dropout=0.5)

attention.eval()

attention(queries, keys, values, valid_lens)

tensor([[[ 2.0000,  3.0000,  4.0000,  5.0000]],

        [[10.0000, 11.0000, 12.0000, 13.0000]]])

与加性注意力演示相同，由于键包含的是相同的元素，
而这些元素无法通过任何查询进行区分，因此获得了 [均匀的注意力权重]。

d2l.show_heatmaps(attention.attention_weights.reshape((1, 1, 2, 10)),

                  xlabel='Keys', ylabel='Queries')

# 小结

• 将注意力汇聚的输出计算可以作为值的加权平均，选择不同的注意力评分函数会带来不同的注意力汇聚操作。
• 当查询和键是不同长度的矢量时，可以使用可加性注意力评分函数。当它们的长度相同时，使用缩放的 “点－积” 注意力评分函数的计算效率更高。

# 练习

1. 修改小例子中的键，并且可视化注意力权重。可加性注意力和缩放的 “点－积” 注意力是否仍然产生相同的结果？为什么？
2. 只使用矩阵乘法，能否为具有不同矢量长度的查询和键设计新的评分函数？
3. 当查询和键具有相同的矢量长度时，矢量求和作为评分函数是否比 “点－积” 更好？为什么？

Discussions